Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S=6t^2-t^3\), vận tốc \(v (m/s)\) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm \(t (s)\) bằng

Một vật chuyển động theo quy luật \(s=-\dfrac {1}{3}{t^3}+6t^2\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(9\) giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S(t)=1+3t^2-t^3\). Vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất khi \(t\) (giây) bằng bao nhiêu?

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S=-\dfrac {1}{3}{t^3}+4t^2+9t\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(S\) (mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian \(10\) giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của chất điểm là bao nhiêu?

Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(S=-2t^3+18t^2+2t\text +1,\) trong đó \(t\) tính bằng giây, \({a}\) tính bằng mét \((m)\). Tính thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất.

Công suất \(P\) (đơn vị \(W\)) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin \(12V\) được cho bởi công thức \(P=12I-0{,}5I^2\) với \(I\) (đơn vị \(A\)) là cường độ dòng điện. Tìm công suất tối đa của mạch điện.

Để giảm nhiệt độ trong phòng từ \(28^\circ C\), một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong \(10\) phút. Gọi \(T\) (đơn vị \(^\circ C\)) là nhiệt độ phòng ở phút thứ \(t\) được cho bởi công thức \(T=-0{,}008t^3-0{,}16t+28\) với \(t\in [1;10]\). Tìm nhiệt độ thấp nhất trong phòng đạt được trong thời gian \(10\) phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động.

Một hợp tác xã nuôi cá thí nghiệm trong hồ. Người ta thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có \(n\) con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng \(P(n)=480-20n\) (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều gam cá nhất?

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức \(G(x)=0{,}025x^2(30-x)\), trong đó \(x\) là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (\(x\) được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất bằng

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là \(300\) km. Vận tốc dòng nước là \(6\) km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là \(v\) (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \(E(v)=cv^3t\), trong đó \(c\) là hằng số và \(E\) tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất bằng

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ \(t\) là \(f(t)=45t^2-t^3, t=0,1,2,\ldots ,25\). Nếu coi \(f(t)\) là hàm số xác định trên đoạn \([0;25]\) thì đạo hàm \(f’(t)\) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm \(t\). Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất?

Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa \(55000\) khán giả. Với giá mỗi vé là \(100\) nghìn đồng, số khán giả trung bình là \(27000\) người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm \(10\) nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng \(3000\) khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Anh An chèo thuyền từ điểm \(A\) trên bờ một con sông thẳng rộng \(3\) km và muốn đến điểm \(B\) ở bờ đối diện cách \(8\) km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (hình vẽ). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm \(C\) rồi chạy bộ đến \(B\), hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến \(B\), hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) nào đó giữa \(C\) và \(B\) rồi chạy bộ đến \(B\). Nếu vận tốc chèo thuyền là \(6\) km/h và vận tốc chạy bộ là \(8\) km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được \(B\) càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí \(A\) cách bờ biển một khoảng \(AB = 5km\). Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí \(C\) cách \(B\) một khoảng là \(7km\). Người canh ngọn hải đăng có thể chèo đò từ \(A\) đến điểm \(M\) trên bờ biển với vận tốc \(4 km/h\) rồi đi bộ đến \(C\) với vận tốc \(6 km/h\) (xem hình vẽ dưới đây).

Tính độ dài đoạn \(BM\) để người đó đến kho nhanh nhất.

[~Đề 103, THPT.QG - 2018]
Ông A dự định sử dụng hết \(5\) m\(^2\) kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

[~Đề minh họa - THPT.QG 2017]
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\) (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm \(x\) để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

Cho một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước \(10\) cm \(\times \) \(16\) cm. Người ta cắt bỏ \(4\) góc của tấm tôn \(4\) miếng hình vuông bằng nhau rồi gò lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Để thể tích của hình hộp đó lớn nhất thì độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng

Người ta muốn xây một chiếc bể nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(\dfrac {500}{3}\) m\(^3\). Biết đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ xây là \(700.000\) đồng/m\(^2\). Tìm kích thước của bể để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi phí thuê nhân công là

Một đường dây diện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí \(A\) đến vị trí \(C\) trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ \(C\) đến đất liền là \(BC=1\) km, khoảng cách từ \(A\) đến \(B\) là \(4\) km. Người ta chọn một vị trí tại điểm \(S\) nằm giữa \(A\) và \(B\) để mắc đường dây diện từ \(A\) đến \(S\), rồi từ \(S\) đến \(C\) như hình vẽ.

Chi phí mỗi km dây điện trên đất liền là \(30\) triệu đồng, mỗi km dây điện ngầm dưới biển là \(50\) triệu đồng. Tổng chi phí thấp nhất để hoàn thành công việc là

Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(S(t)=12t^2-2t^3+3\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian (tính bằng giây) mà chất điểm bắt đầu chuyển động. Tính thời điểm \(t\) (giây) mà tại đó vận tốc (m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Một chất điểm chuyển động thẳng với quãng đường biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(s(t) =t^3- 4t^2+ 12\) (m), trong đó \(t\) (s) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động. Vận tốc của chất điểm đó đạt giá trị bé nhất khi \(t\) bằng bao nhiêu?

Một chất điểm chuyển động với phương trình \(s=f(t)=t^2-t+2\) (\(s\) tính bằng mét và \(t\) tính bằng giây). Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t=2\) s là

Một chất điểm chuyển động được xác định bởi phương trình \(s(t)=-t^3+3t^2+9t\), trong đó \(t\) tính
bằng giây và \(s\) tính bằng mét. Tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu.

Một chất điểm có phương trình chuyển động \(s(t)=\dfrac {1}{3}t^3-2t^2\) với \(t > 0\), \(t\) tính bằng giây, \(s(t)\) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời tại thời điểm mà vận tốc tức thời bằng \(5\) m/s.

[~Đề minh họa - THPT.QG 2017]
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng \(x\) (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm \(x\) để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

Người ta muốn xây một chiếc bể nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(\dfrac {500}{3}\) m\(^3\). Biết đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ xây là \(700.000\) đồng/m\(^2\). Tìm kích thước của bể để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi phí thuê nhân công là