None Kiến thức cần đạt - Bài 3. Tích 1 số với một véc-tơ
Mã: 55JL3NEG
Tích của một số với một véc-tơ và các tính chất
Định nghĩa: Cho số $k\neq 0$ và véc-tơ $\overrightarrow {a} \neq \overrightarrow {0}$. Tích của số $k$ với véc-tơ $\overrightarrow {a}$ là một véc-tơ, kí hiệu là $k\overrightarrow {a}$, được xác định như sau
Ta quy ước $0\overrightarrow {a}=\overrightarrow {0}$ và $k\overrightarrow {0}=\overrightarrow {0}$.
Theo hình 1.4 ta có
- Cùng hướng với $\overrightarrow {a}$ nếu $k>0$,
- ngược hướng với $\overrightarrow {a}$ nếu $k<0$.
- Có độ dài bằng $\left |k\right |\cdot \left |\overrightarrow {a}\right |$.
Ta quy ước $0\overrightarrow {a}=\overrightarrow {0}$ và $k\overrightarrow {0}=\overrightarrow {0}$.
Theo hình 1.4 ta có
- $\overrightarrow {b}=2\overrightarrow {a}$
- $\overrightarrow {u}=-3\overrightarrow {v}$
- $\overrightarrow {y}=-2\overrightarrow {x}$
- $\overrightarrow {z}=\dfrac {3}{2}\overrightarrow {x}$
Với hai véc-tơ $\overrightarrow {a}$ và $\overrightarrow {b}$ bất kì; với mọi số thực $h$ và $k$, ta có:
- $k\left (\overrightarrow {a}+\overrightarrow {b}\right )=k\overrightarrow {a}+k\overrightarrow {b}$.
- $1\cdot \overrightarrow {a}=\overrightarrow {a}$.
- $\left (h+k\right )\overrightarrow {a}=h\overrightarrow {a}+k\overrightarrow {a}$.
- $\left (-1\right )\cdot \overrightarrow {a}=-\overrightarrow {a}$.
- $h\left (k\overrightarrow {a}\right )=\left (hk\right )\overrightarrow {a}$.
Điều kiện để hai véc-tơ cùng phương
Định nghĩa: Hai véc-tơ $\overrightarrow {a}$ và $\overrightarrow {b}$ $\left (\overrightarrow {b} \text { khác } \overrightarrow {0}\right )$ cùng phương khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $\overrightarrow {a}=k\overrightarrow {b}$.
Nhận xét
Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k$ khác $0$ để $$\overrightarrow {AB}=k\overrightarrow {AC}$$
(do $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ luôn cùng phương)
Nhận xét
Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k$ khác $0$ để $$\overrightarrow {AB}=k\overrightarrow {AC}$$
(do $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ luôn cùng phương)
Các quy tắc cần nhớ
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm $A$, $B$, $C$ ta có $\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {BC}= \overrightarrow {AC}$.
Quy tắc trừ
$\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AC}=\overrightarrow {CB}$
Quy tắc hình bình hành
Với $ABCD$ là hình bình hành ta có
$$\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD}= \overrightarrow {AC}$$
$I$ là trung điểm của $AB$
- $\overrightarrow {IA}+\overrightarrow {IB}=\overrightarrow {0}$.
- $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}=2\overrightarrow {MI}$ với điểm $M$ bất kì.
hay $\overrightarrow {MI}=\dfrac {1}{2}\left (\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}\right )$
$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
- $\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {0}$.
- $\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}=3\overrightarrow {MG}$ với điểm $M$ bất kì.
hay $\overrightarrow {MG}=\dfrac {1}{3}\left (\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}\right )$
Phân tích được 1 véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương
Mọi véc-tơ $\overrightarrow {c}$ điều phân tích được theo 2 véc-tơ $\overrightarrow {a}$, $\overrightarrow {b}$. tức là
$$\overrightarrow {c}=m\overrightarrow {a}+n\overrightarrow {b}$$
(với bộ số $m$, $n$ duy nhất)