➕ Thêm bài tập ↩️ Quay lại danh sách

None BS - Đạo hàm

Mã: QO8VDF41

Công thức đạo hàm

Định nghĩa: [Định nghĩa đạo hàm]
Đạo hàm của hàm số tại $x_0$ là
$$f'(x_0)=\lim \limits _{x\to x_0}\dfrac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Định nghĩa: [Đạo hàm của hàm hợp]
Nếu $y=f\left ( u \right )\,,\,\,u=u\left ( x \right )$ thì $$\boxed {y'=f'(u).u'}$$

Định nghĩa: [Đạo hàm cấp 2]
Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai là $y''$ hoặc $f''(x)$.
$$\boxed {y''=\left [f'(x)\right ]'}$$

Định lý: [Đạo hàm của các hàm số thường gặp]
Tâm Trí Sáng

Định lý: [Các quy tắc]
Cho $u=u\left ( x \right )\,;\,\,v=v\left ( x \right )$ và $k:$ là hằng số.
  1. $\left ( u+ v \right )'=u'+ v'$
  2. $\left ( u- v \right )'=u'- v'$
  3. $\left ( u.v \right )'=u'.v+u.v'$
  4. $\left ( \dfrac {u}{v} \right )'=\dfrac {u'.v-u.v'}{v^2}$

[đặc biệt]
Cho $u=u\left ( x \right )\,;\,\,v=v\left ( x \right )$ và $k:$ là hằng số.
  1. $\left ( k.u \right )'=k.u'.$
  2. $\left ( \dfrac {1}{u} \right )'=-\dfrac {u'}{u^2}$
  3. $\boxed {\left (\dfrac {ax+b}{cx+d}\right )'=\dfrac {ad-bc}{(cx+d)^2}}$

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định nghĩa: [Hệ số góc]
$f'(x_0)$ là hệ số góc
Tâm Trí Sáng

Định nghĩa: [Phương trình tiếp tuyến]
Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$. Tiếp tuyến với $(C)$ tại $M(x_0;y_0)$ với $y_0=f(x_0)$ có phương trình là
$$\boxed {y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0}$$
  • Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=ax+b$ thì tiếp tuyến có hệ số góc là $k=a$.
  • Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=ax+b$ thì tiếp tuyến có hệ số góc là $k=-\dfrac {1}{a}$.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Định lý: [Mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc, gia tốc]
Tâm Trí Sáng

Nội dung chi tiết

BT: BS - Đạo hàm - đề 1

Câu 1:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M\left (x_0;y_0\right )\), trong đó \(y_0=f\left (x_0\right )\) là
Câu 2:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M\left (x_0;y_0\right )\), trong đó \(y_0=f\left (x_0\right )\) có phương trình là
Câu 3:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(\mathbb {R}\) thỏa mãn \(\lim \limits _{x \to 3} \dfrac {f(x)-f(3)}{x-3}=2\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 4:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'(6)=2\). Tính \(\lim \limits _{x \to 6} \dfrac {f(x)-f(6)}{x-6}\).
Câu 5:
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)=3x+1\) tại điểm \(M(1;4)\) là
Câu 6:
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{aligned}&\dfrac {\sqrt {x^2+1}-1}{x} & \text {khi}\,\, x \neq 0 \\& 0 & \text {khi}\,\, x=0\end{aligned}\right.\). Tính giá trị của \(f'(0)\).
Câu 7:
Trên khoảng \(\left (0;+\infty \right )\), hàm số \(y=x^4-\ln x\) có đạo hàm là
Câu 8:
Với mọi \(x\neq 1\), hàm số \(y=\dfrac {2x+1}{x-1}\) có đạo hàm là
Câu 9:
Với mọi \(x\) dương, hàm số \(y=\log _2 x\) có đạo hàm là
Câu 10:
Đạo hàm của hàm số \(y=x^2-2x-\sin x\) là
Câu 11:
Trên khoảng \(\left (0;+\infty \right )\), hàm số \(y=2\sqrt {x}-3\sin x\) có đạo hàm là
Câu 12:
Với mọi \(x\neq \dfrac {\pi }{2}+k\pi \), \(k\in \mathbb {Z}\), thì đạo hàm của hàm số \(y=x^3-x-\tan x\) là
Câu 13:
Cho hai hàm số \(f(x)=\dfrac {3}{x+1}\) và \(g(x)=\dfrac {x^2}{x+2}\).
a) \(f'(x)=-\dfrac {3}{\left (x+1\right )^2}\), \(\forall x\ne -1\)
b) \(g'(1)=-1\)
c) \(\left [g(x)\right ]'=\dfrac {x^2+4x}{\left (x+2\right )^2}\), \(\forall x\ne -2\)
d) \(\left [f(x)\cdot g(x)\right ]'=f'(x)\cdot g'(x)\) ,\(\forall x\in \mathbb {R} \setminus \left \{-1,-2\right \}\)
Câu 14:
Một chuyển động thẳng có quãng đường di chuyển được xác định bởi phương trình \(s(t)=2t^2+t-1\), trong đó \(s\) tính bằng mét và \(t\) tính bằng giây.
a) Tại thời điểm \(t=2\) tốc độ tức thời của chuyển động là \(10\) m/s
b) \(s(3)-s'(1)=3\)
c) Tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\) là \(s'(t_0)={\lim \limits _{t\to t_0}} \dfrac {s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\)
d) Phương trình \(s(t)-\left [\left (t+1\right )\cdot s(t)\right ]'+27=0\) có \(2\) nghiệm trái dấu
Câu 15:
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình \(s(t)=\dfrac {1}{6} t^4-\dfrac {4}{3} t^3+5t^2-7\), trong đó \(t > 0\) với \(t\) tính bằng giây (s), \(s\) tính bằng mét (m). Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất là \(\dfrac {a}{b}\) với \(\dfrac {a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b\in \mathbb {Z}\). Tính \(T=a-2b\).
Câu 16:
Gọi \(M\left (x_0; y_0\right )\) là điểm trên đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2-1\) mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc bé nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Khi đó \(x_0^2+y_0^2\) bằng bao nhiêu?
Câu 17:
Một chuyển động theo quy luật là \(S(t)=-t^3+6t^2+3t+9\) với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Tính quãng đường vật đi được bắt đầu từ lúc vật chuyển động tới thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất.
Câu 18:
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát, có phương trình chuyển động là \(x(t)=4\cos \left (\pi t - \dfrac {2\pi }{3}\right )+4 \text { (cm)}\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Tìm thời điểm đầu tiên mà vận tốc tức thời của con lắc bằng \(0\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
Câu 19:
Một khối lập phương tại thời điểm ban đầu có thể tích bằng \(8\) (cm\(^3\)). Mỗi giây thể tích khối lập phương tăng thêm \(8\) (cm\(^3\)). Hỏi khi cạnh hình lập phương là \(12\) cm thì tốc độ thay đổi diện tích toàn phần là bao nhiêu cm\(^2\)/s (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Câu 20:
Độ dốc của mộ con đường được tính bởi góc tạo bởi tiếp tuyến của đường cong mặt đường tại điểm đang xét và phương nằm ngang. Góc \(90^\circ \) được coi là độ dốc \(100\%\). Xét một con dốc được mô hình bởi đồ thị hàm số \(f(x)=\dfrac {x^2}{200}\), \(0\le x\le 25\). Độ dốc tại điểm \(A(20;2)\) là bao nhiêu phần trăm? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Biết rằng \(\alpha \) là góc kẻ từ tia \(Ox\) đến tiếp tuyến của đường cong \(y=f(x)\) tại điểm \(M\left (x_0;y_0\right )\) theo ngược chiều kim đồng hồ thì \(\tan \alpha =f'\left (x_0\right )\).
Tâm Trí Sáng
Câu 21:
Chứng minh rằng \(\mathrm {C}_n^1+2\mathrm {C}_n^2+3\mathrm {C}_n^3+\cdots +n\mathrm {C}_n^n=n\cdot 2^{n-1}\) (với \(n\) nguyên dương).

BT: BS - Đạo hàm - Đề số 2

Câu 1:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x_0\). Chọn phương án đúng?
Câu 2:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) là \(f'\left (x_0\right )\). Khẳng định nào sau đây {sai}?
Câu 3:
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'(3)=6\). Giá trị của biểu thức \(\displaystyle \lim \limits _{x\to 3} \dfrac {f(x)-f(3)}{x-3}\) bằng
Câu 4:
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb {R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) tại điểm có hoành độ bằng \(3\). Giá trị \(f'(3)\) bằng
Tâm Trí Sáng
Câu 5:
Một vật đang đứng yên tại thời điểm ban đầu \(t=0\) và bắt đầu di chuyển theo hướng thẳng có phương trình chuyển động \(s(t)=t^3-6t^2+24 t\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(s\) là quãng đường tính bằng mét. Tính quãng đường vật đi được kể từ thời điểm ban đầu cho đến thời điểm vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6:
Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí) được cho bởi phương trình \(x(t)=4 \cos \left (2 \pi t+\dfrac {\pi }{3}\right )\), trong đó \(x\) tính bằng centimet và thời gian \(t\) tính bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t=5 s\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Câu 7:
Hàm số \(y=\sqrt {x}\) có đạo hàm trên \((0;+\infty )\) là
Câu 8:
Đạo hàm của hàm số \(y=x^2\cdot \ln x\) trên \((0;+\infty )\) là
Câu 9:
Cho hàm số \(y=x^5-3x^4+x+1\) với \(x\in \mathbb {R}\). Đạo hàm \(y''\) của hàm số là
Câu 10:
Đạo hàm của hàm số \(f(x)=\mathrm {e}^x\cdot \cos x\) là
Câu 11:
Cho hàm số \(y=f(x)=x^3-3x^2+4x-1\) có đồ thị \((C)\). Tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\) có phương trình là
Câu 12:
Cho hàm số \(f(x)=(1-2 x) \cdot \mathrm {e}^{-x^2+1}\). Số nghiệm nguyên thuộc \([-2\,024 ; 2\,024]\) của phương trình \(f'(x) \geq 0\) là
Câu 13:
Cho hàm số \(f(x)=x^2+2x\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(M\in (C)\) có hoành độ bằng \(2\).
a) \(f'(x)=2x+2\)
b) Giá trị \(f'(1)=\lim \limits _{x \to 1} \dfrac {f(x)+f(1)}{x-1}\)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) là \(k=f'(2)\)
d) Tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \(M\) có phương trình là \(y=6x-20\)
Câu 14:
Cho đồ thị hàm số \((C)\colon y=f(x)=\dfrac {x^3}{3}+3 x^2-2\). Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\left (x_0, y_0\right )\), \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d: y=-9 x\).
a) \(f'(x)=x^2+6x\)
b) Hệ số góc của đường thẳng \(\Delta \) là \(9\)
c) \(x_0=-3\)
d) Phương trình đường thẳng \(\Delta \colon y=-9 x-12\)
Câu 15:
Cho hàm số \(y=f(x)=-2x^3+x\) có đồ thị \((C)\).Tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng \(1\).
Câu 16:
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(S(t)=t^3-3t^2-9t+2\), trong đó \(t\) được tính bằng giây và \(S\) được tính bằng mét. Gia tốc tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là bao nhiêu? (đơn vị m/s\(^2\)).
Câu 17:
Dân số của một thành phố A được tính bởi hàm số \(P(t)=\dfrac {500t}{t^2+9}\) trong đó \(P\) được tính theo đơn vị nghìn người, \(t\) là thời gian được tính bằng năm. Nếu xem \(P'(t)\) là tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t\) thì tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t=1\) là bao nhiêu nghìn người?
Câu 18:
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t)=\dfrac {1}{3}t^3+t^2-18t+4\), trong đó \(t>0\) tính bằng giây, \(s(t)\) tính bằng mét. Tính vận tốc (đơn vị: mét/giây) của chất điểm tại thời điểm vật đi được quãng đường \(4\) mét.
Câu 19:
Một viên đạn được bắn lên cao theo phương thẳng đứng có phương trình chuyển động \(h(t)=3+196t-4{,}9t^2\), trong đó \(t>0\),\, \(t\) là thời gian chuyển động và được tính bằng giây; \(h\) là độ cao so với mặt đất và được tính bằng mét. Tại thời điểm viên đạn đạt vận tốc tức thời bằng \(98\) mét/giây thì viên đạn ở độ cao so với mặt đất bằng bao nhiêu mét?
Câu 20:
Một vật chuyển động trong \(4\) giờ với vận tốc \(v\) phụ thuộc vào thời gian \(t\) và có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian \(4\) giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh \(I\left ( \dfrac {5}{2};\,-\dfrac {9}{4} \right )\) và có trục đối xứng song song trục tung. Tính gia tốc của vật lúc \(t=3\) giờ.
Tâm Trí Sáng
Câu 21:
Cho hàm số \(y=\dfrac {2}{x}\) có đồ thị là đường cong \((C)\).
  1. Tính đạo hàm của hàm số \(y=\dfrac {2}{x}\).
  2. Biết tiếp tuyến của đường cong \((C)\) song song với đường thẳng \(2x+y+4=0\) và có phương trình \(y=ax+b\). Tính giá trị của \(a-b\).

BT: BS - Đạo hàm - Đề số 3

Câu 1:
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \(K\) và \(4\in K\). Khẳng định nào trong bốn khẳng định bên dưới là đúng?
Câu 2:
Tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;y_0)\) thuộc \((C)\) có phương trình là
Câu 3:
Với \(x\in \mathbb {R}\), hàm số \(y=5x^7\) có đạo hàm là
Câu 4:
Với \(x>0\), đạo hàm của hàm số \(y=\log x\) là
Câu 5:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^2-1\) tại điểm \(M(-2; 3)\) có hệ số góc là
Câu 6:
Với \(x\in \mathbb {R}\), đạo hàm của hàm số \(y=2x^3-3x^2+1\) là
Câu 7:
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Câu 8:
Đạo hàm của hàm số \(y=2\sqrt {x}-\ln x\) trên khoảng \((0;+\infty )\) là
Câu 9:
Cho hàm số \(f(x)=\ln x\), với \(x>0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 10:
Với \(x\ne 1\), hàm số \(y=\dfrac {3x+4}{x-1}\) có đạo hàm là
Câu 11:
Với \(x\ne \dfrac {1}{2}\), hàm số \(y=\dfrac {3x^2+2x-5}{2x-1}\) có đạo hàm là \(y'=\dfrac {ax^2-bx+4c}{(2x-1)^2}\), với \(a,b,c \in \mathbb {R}\). Giá trị của biểu thức \(T=a^2-2b+3c\) là
Câu 12:
Một vật chuyển động theo phương trình \(s(t)=3t^2+5t+5\) (m), trong đó \(t\) là thời gian chuyển động được tính bằng giây (s), \(s(t)\) là quãng đường chuyển động của vật theo thời gian \(t\), tính bằng mét (m). Tại thời điểm \(t=2\) giây, vận tốc của vật là
Câu 13:
Cho hàm số \(y=f(x)=\sqrt {x^2+3x+5}\) có đồ thị \((C)\).
a) Tập xác định của hàm số \(y=f(x)=\sqrt {x^2+3x+5}\) là \(\mathscr {D}=\mathbb {R}\)
b) \(y'=f'(x)=\dfrac {1}{2\sqrt {x^2+3x+5}}\)
c) \(f'(1)=\dfrac {5}{6}\)
d) Gọi \(M\) là điểm thuộc \((C)\) và có \(x_M=1\). Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) có phương trình là \(5x-6y+13=0\)
Câu 14:
Một vật chuyển động thẳng không đều xác định bởi phương trình \(s(t)=t^3-6t^{2}+18t+3\), trong đó \(s(t)\) là quãng đường chuyển động của vật theo thời gian \(t\), tính bằng mét (m) và \(t\) tính bằng giây (s).
a) Quãng đường vật đi được sau \(5\) giây kể từ khi bắt đầu chuyển động là \(52\) (m)
b) Vận tốc tức thời của vật là \(v(t)=3t^2-6t+18\) (m/s)
c) Gia tốc tức thời của vật là \(a(t)=6t-12\) (m/s\(^2\))
d) Vận tốc nhỏ nhất vật đạt được trong \(10\) giây từ lúc bắt đầu chuyển động là \(6\) (m/s)
Câu 15:
Cho hàm số \(y=\sqrt {x^2-2x+4}\) có đồ thị \((C)\). Tiếp tuyến của \((C)\) tại giao điểm với trục tung có dạng \(y=Ax+B\). Tính \(2\,026A+2\,025B\).
Câu 16:
Một chất điểm có phương trình chuyển động \(s(t)=3 \sin \left (t+\dfrac {\pi }{3}\right )\), trong đó \(t>0\), \(t\) tính bằng giây (s), \(s(t)\) là quãng đường chuyển động của vật theo thời gian \(t\), tính bằng mét (m). Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \(t=\dfrac {5\pi }{3}\) (s).
Câu 17:
Cân nặng trung bình của một em bé trong độ tuổi từ \(0\) đến \(36\) tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số \(w(t)=0{,}00076t^3-0{,}06t^2+1{,}8t+8{,}2\), trong đó \(t\), \((0\leq t\leq 36)\) là độ tuổi, được tính bằng tháng và \(w(t)\) là cân nặng trung bình của một em bé sau \(t\) tháng, được tính bằng pound. Tính tốc độ thay đổi cân nặng của em bé đó tại thời điểm \(15\) tháng tuổi. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Câu 18:
Một ô tô chuyển động có phương trình chuyển động là \(s(t)= -t^3 + 6t^2 + 5t\) với \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động, tính bằng giây (s) và \(s(t)\) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian \(t\), tính bằng mét (m). Trong khoảng thời gian \(8\) giây đầu tiên, vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu m/s?
Câu 19:
Tính đạo hàm của hàm số \(f(x)=\left (31x^2-7x-25\right )^{26}\).
Câu 20:
Biết hàm số \(y=\left (x^2-1\right )\mathrm {e}^{2x}\) có đạo hàm \(y'=\left (ax^2+bx+c\right )\mathrm {e}^{2x}\). Tính giá trị của biểu thức \(T=3a^2+2b^3-7c\).
Câu 21:
Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang trên mặt phẳng không ma sát như bên dưới và có phương trình chuyển động \(x(t)=4\sin \left (2t+\dfrac {\pi }{3}\right )\), trong đó \(t\) tính bằng giây và \(x\) tính bằng centimét (cm). Tìm gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm \(t=\dfrac {2\pi }{3}\) (s) và tại thời điểm đó, con lắc di chuyển theo hướng như thế nào so với phương \(Ot\)?
Tâm Trí Sáng