None Tóm tắt kiến thức - sự biến thiên và cực trị
Mã: 6W0MYOC5
Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa: [Sự đồng biến, nghịch biến]
Giả sử hàm số $y=f\left ( x \right )$ xác định trên $K$ ta có:
Giả sử hàm số $y=f\left ( x \right )$ xác định trên $K$ ta có:
- Hàm số $y=f\left ( x \right )$ được gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu:
$$\forall {x_1},{x_2}\in K,{x_1}<{x_2}\Rightarrow f\left ( {x_1} \right )<f\left ( {x_2} \right ).$$ - Hàm số $y=f\left ( x \right )$ được gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu:
$$\forall {x_1},{x_2}\in K,{x_1}<{x_2}\Rightarrow f\left ( {x_1} \right )>f\left ( {x_2} \right ).$$ - Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên $K$ được gọi chung là đơn điệu trên $K$.
Định lý: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $K$.
Chú ý: $f'(x)=0$ với mọi $x\in K$ thì $f(x)$ không đổi trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K$.
- Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x$ thuộc $K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K$.
Chú ý: $f'(x)=0$ với mọi $x\in K$ thì $f(x)$ không đổi trên khoảng $K$.
Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $K$
- Nếu $f'\left ( x \right )\ge 0$ với mọi $x\in K$ và $f'\left ( x \right )=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên $K$.
- Nếu $f'\left ( x \right )\le 0$ với mọi $x\in K$ và $f'\left ( x \right )=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm $x\in K$ thì hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $K$.
Cực trị của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập hợp $D$ và ${x_0}\in D$.
- Nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm ${x_0}$ và $(a;b)\subset D$ sao cho $f(x)<f\left ({x_0} \right )$ với mọi $x\in (a;b)\setminus \left \{{x_0} \right \}$ thì ${x_0}$ được gọi là một điểm cực đại, $f\left ({x_0} \right )$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $y=f(x)$, kí hiệu $y_\text {CĐ}$.
- Nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa điểm ${x_0}$ và $(a;b)\subset D$ sao cho $f(x)>f\left ({x_0} \right )$ với mọi $x\in (a;b)\setminus \left \{{x_0} \right \}$, thì ${x_0}$ được gọi là một điểm cực tiểu, $f\left ({x_0} \right )$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $y=f(x)$, kí hiệu ${y_{\text {CT}}}$.
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số.
- Nếu $x_0$ là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số $y = f(x)$ thì ta cũng nói hàm số $y = f(x)$ đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại $x_0$.
- Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên $D$.
- Nếu $x_0$ là điểm cực trị của hàm số $y = f(x)$ thì điểm $M(x_0, f(x_0))$ là một điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = f(x)$.
Định lý: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $(a; b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_0)$ và $(x_0; b)$. Khi đó:
Hay
- Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in (a; x_0)$ và $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (x_0; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại điểm $x_0$.
- Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a; x_0)$ và $f'(x) < 0$ với mọi $x \in (x_0; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại điểm $x_0$.
Hay
- Nếu $y'$ đổi dấu từ $ (+) $ sang $ (-) $ qua điểm $ x_{0} $ thì $x_{0}$ gọi là điểm cực đại của hàm số $ y=f(x) $.
- Nếu $y'$ đổi dấu từ $ (-) $ sang $ (+) $ qua điểm $ x_{0} $ thì $x_{0}$ gọi là điểm cực tiểu của hàm số $ y=f(x) $.