[Trích đề thi HKI -Lớp 12 -SGD-HUẾ -Năm học 2024-2025]
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số \(y=x^3-3x+1\).

Xét tính đơn điệu của hàm số \(y=\dfrac {x^2+x+4}{x+1}\).

[Trích đề ôn tập HKI -Lớp 12 -THPT Bùi Thị Xuân-Năm học 2024-2025]
Một vật đang đứng yên thì bắt đầu chuyển động theo quy luật \(s(t)=-t^3+3t^2+6t\), với \(t\) (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và \(s\) (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi vật tăng tốc trong khoảng thời gian bao nhiêu giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động?

[Trích đề thi HKI -Lớp 12 -SGD-Tỉnh Vĩnh Long-Năm học 2024-2025]
Một chất điểm chuyển động có phương trình \(s(t)\) thì có vận tốc \(v(t)=s'(t)\). Biết rằng phương trình chuyển động của chất điểm là \(s(t)=\dfrac {1}{3}t^3-3t^2+5t\) trong đó \(t\) được tính bằng giây và \(s\) được tính bằng mét. Kể từ giây thứ bao nhiêu trở đi thì vận tốc của chất điểm bắt đầu tăng?

[Trích đề thi GHKI -Lớp 12 -THPT Phạm Văn Sáng-Tp HCM-Năm học 2024-2025]
Người ta giới thiệu một loại thuốc để kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau \(t\) phút, số lượng vi khuẩn được xác định theo công thức là \(f(t)=-t^3+30t^2+1\,000\) với \(0\leq t\leq 30\). Hỏi sau bao nhiêu phút thí số lượng vi khuẩn đạt giá trị cực đại?

[Lớp 12 – Đề thi học kì 1]
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \([-24;24]\) để hàm số \(y=\dfrac {(m+1)x+m}{2x+1}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

[Trích đề thi HKI -Lớp 12 -SGD-HUẾ-Năm học 2024-2025]
Một chất điểm đang chuyển động trên một đường thẳng và gặp một con dốc cao muốn vượt qua. Xem chân dốc là điểm \(A\), khi chất điểm qua \(A\) là thời điểm bắt đầu leo dốc với phương trình chuyển động là \(s(t)=at-2t^2\) cho đến khi lên đỉnh dốc (\(a\) là tham số thực dương, \(t \geq 0\) tính bằng giây và \(s\) tính bằng mét). Biết dốc có độ dài bằng \(50m\) và xe muốn leo dốc thành công thì phải tồn tại \(t > 0\) sao cho \(s(t)=50\). Tính vận tốc ban đầu nhỏ nhất để xe leo dốc thành công.

[Trích đề thi HKI -Lớp 12 -THPT Đinh Tiên Hoàng-Tỉnh Ninh Bình-Năm học 2024-2025]
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=\left (x^2-x\right )\left (x^2-4x+3\right )\), \(\forall x \in \mathbb {R}\). Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(g(x)=f\left (x^2+m\right )\) có \(3\) điểm cực trị.

[Trích đề thi HKI Lớp 12-THPT Thực hành Sư Phạm-Đồng Nai-Năm học 2024-2025]
Đường ray của tàu lượn siêu tốc là một dạng đường cong Spline được thiết kế với độ cong thay đổi linh hoạt, thú vị và đáp ứng được một số tiêu chí về an toàn.
(Nguồn: J.R.McKilligan \& T.J.Allen. The Mathematics of Coaster Design)
Một phần đường ray tàu lượn siêu tốc có dạng đồ thị hàm số bậc ba
\[y=f(x)=a x^3+b x^2+c x+d,(a \neq 0)\]
Trục \(Ox\) mô tả quãng đường tàu di chuyển theo chiều ngang (tính bằng mét), trục \(Oy\) mô tả chiều cao của đường ray (tính bằng mét) tại mỗi vị trí \(x\). Chiều cao xuất phát là \(50\) m. Tàu xuống dưới mặt đất lần thứ nhất từ vị trí \(x=20\) m, tàu lên khỏi mặt đất ở vị trí \(x=50\) m và sau đó xuống dưới mặt đất lần thứ hai ở vị trí \(x=100\) m. Xét đồ thị của hàm số đã cho khi \(x \in [0; 100]\) như hình vẽ bên dưới

Biết điểm cao nhất của đường ray khi tàu lên khỏi mặt đất và điểm thấp nhất của đường ray khi tàu xuống dưới mặt đất lần lượt có hoành độ là \(p\) và \(q\). Tính \(3q+p\).

[Trích đề thi GHKI -Lớp 12 -THPT Chuyên Lê Khiết-Quảng Ngãi-Năm học 2024-2025]
Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) của công ty \(A\) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bẳng hàm số \(R=R(t)=\dfrac {a}{1+b \mathrm {e}^{-t}}, t \geq 0\), trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó đạo hàm \(R'(t)\) biểu thị tốc độ bán hàng. Tại thời điểm \(t=0\), công ty \(A\) có \(1\,000\) sản phẩm và tốc độ bán hàng là \(800\) sản phẩm/năm. Tính \(a+b\).