Chi tiết Dạng toán: Tóm tắt kiến thức - Bài 1. Véc-tơ trong không gian

None Tóm tắt kiến thức - Bài 1. Véc-tơ trong không gian

Mã: MFZ7GNOV

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa: [Véc-tơ]
là một đoạn thẳng có hướng.\\
Kí hiệu: véc-tơ $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {CD}$\\
hoặc $\overrightarrow {a}$, $\overrightarrow {b}$,..., $\overrightarrow {x}$, $\overrightarrow {y}$
Tâm Trí Sáng

Định nghĩa: [Giá của véc-tơ]
là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ đó
Tâm Trí Sáng

Định nghĩa: [Hai véc-tơ cùng phương]
là hai véc-tơ có giá song song hoặc trùng nhau
Tâm Trí Sáng

Định nghĩa: [Độ dài của véc-tơ $\overrightarrow {a}$]
là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ đó. Kí hiệu là $|\overrightarrow {a}|$.\\
Ta có $|\overrightarrow {AB}|=AB$ \tikz {\draw [-stealth] (0,0)node[above]{$A$}--(3,0)node[above]{$B$};}

Định nghĩa: [Hai véc-tơ bằng nhau]
là hai véc-tơ cùng độ dài và cùng hướng.
Tâm Trí Sáng

Định nghĩa: [Hai véc-tơ đối nhau]
là hai véc-tơ cùng độ dài và ngược hướng.
Tâm Trí Sáng

Định nghĩa: [Véc-tơ không]
là véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. Kí hiệu là $\overrightarrow {0}$.

Các phép toán véc-tơ

Định nghĩa: [Tổng hai véc-tơ]
Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$.\\
Lấy ba điểm $O, A, B$ sao cho $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow {AB} = \overrightarrow{b}$. \\
Ta gọi $\overrightarrow {OB}$ là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, \\
kí hiệu $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.
Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Tâm Trí Sáng

Định nghĩa: [Hiệu của 2 véc-tơ]
Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$. Ta gọi $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})$ là hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu $\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$.
Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$;
Tính chất kết hợp: $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$
Với mọi vectơ $\overrightarrow{a}$, ta luôn có:
$$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}.$$

tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ là
$$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}.$$

Các quy tắc tính toán với véc-tơ

Quy tắc ba điểm (với phép cộng):
$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} $.
Quy tắc ba điểm (với phép trừ):
$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} $.
Quy tắc hình bình hành: Cho $ABCD$ là hình bình hành, ta có
$$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} $$
Quy tắc hình hộp:
$$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$$
trong đó $ABCD.A'B'C'D'$ là một hình hộp.

Tích 1 số với véc-tơ

Định nghĩa: Cho $k\neq 0$, tích của một số $k$ và $\overrightarrow {a}$ kí hiệu là $\overrightarrow {b}=k\overrightarrow {a}$

$ k>0$: thì $\overrightarrow {b} \neq \overrightarrow {a}$ cùng hướng.
$ k<0$: thì $\overrightarrow {b} \neq \overrightarrow {a}$ ngược hướng.
độ dài $|\overrightarrow {b}| =|k|.| \overrightarrow {a}|$

Quy ước: $0\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ và $k\cdot \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

[Nhận xét]

Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bất kỳ, với mọi số $h$ và $k$, ta có:
1. {2}
2. $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$;
3. $(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$;
4. $h(k\overrightarrow{a})=(hk)\overrightarrow{a}$;
5. $1\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$;
6. $(-1)\cdot \overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$.
$k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ hoặc $k=0$.
Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có số $k$ sao cho $\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{b}$.
Ba điểm phân biệt $A, B, C$ thẳng hàng khi và chỉ khi có số $k \neq 0$ để $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$.

Tính chất trung điểm, trọng tâm

$M$ là điểm tùy ý ta luôn có

$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$
- $ \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$
- $ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} $
$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$
- $ \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$
- $ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} $

Nhắc lại: trọng tâm tam giác là giao điểm của 3 đường trung tuyến.

Góc giữa 2 véc-tơ

Định nghĩa: [Góc giữa 2 véc-tơ]
Cho hai véc-tơ $\overrightarrow {a}$, $\overrightarrow {b}$. Lấy điểm $O$ tùy ý, vẽ

$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {a}$
$\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {b}$

Khi đó góc giữa hai véc-tơ $\overrightarrow {a}$, $\overrightarrow {b}$ là góc $\widehat {AOB}$.\\
Kí hiệu $\left (\overrightarrow {a}, \overrightarrow {b}\right )=\widehat {AOB}$.
Tâm Trí Sáng

$0° \leq (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) \leq 180°$;
Nếu $(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 90°$ thì ta nói $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$.

Tích vô hướng của 2 véc-tơ

Định nghĩa: [Tích vô hướng của 2 véc-tơ]
Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$.
Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức
$$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}).$$

Trong trường hợp $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ hoặc $\overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$, ta quy ước $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$.
$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|^2 = \overrightarrow{a}^2$; $\overrightarrow{a}^2 \geq 0; \overrightarrow{a}^2 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = 0$.
Với hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$, ta có $\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \dfrac {\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}$.
Với hai vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$, ta có $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 0$.
đoạn thẳng: $AB = \left | \overrightarrow {AB} \right | = \sqrt {\overrightarrow {AB}^2}$.

Với ba vectơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ và số $k$, ta có:

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}$;
$\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$;
$(k\overrightarrow{a}).\overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}) = \overrightarrow{a}.(k\overrightarrow{b})$.